3D Space Curves & Vector r(t) Visualizer

เลือกเส้นโค้งปริภูมิ (Space Curve Presets)

ตัวแปรพารามิเตอร์ $t$

ค่าพารามิเตอร์ $t$: 0.00

t_min = 0 t_max = 2π

ขนาด/รัศมีพารามิเตอร์ ($a$): 2.0

ระยะพิตช์/ความสูง ($b$): 0.5

การแสดงผลเวกเตอร์ & องค์ประกอบ

เวกเตอร์ตำแหน่ง $\vec{r}(t)$ (จากจุดกำเนิด) เวกเตอร์สัมผัสหน่วย $\vec{T}(t)$ (Unit Tangent) เวกเตอร์ตั้งฉากหลัก $\vec{N}(t)$ (Principal Normal) เวกเตอร์ไบนอร์มัล $\vec{B}(t) = \vec{T} \times \vec{N}$ ระนาบประแนบ (Osculating Plane)

✨ ผู้ช่วยวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ AI

คลิกเพื่อใช้ AI วิเคราะห์ความโค้ง ($\kappa$), การบิด ($\tau$) และสมบัติทางเรขาคณิตของจุดปัจจุบันแบบเจาะลึก

3D Space Curve Viewport คลิกค้างแล้วลากเพื่อหมุน | หมุนล้อเมาส์เพื่อซูม

แกน X (สีแดง)

แกน Y (สีเขียว)

แกน Z (สีน้ำเงิน)

จุด $P(t) = \vec{r}(t)$

x = 0.00, y = 0.00, z = 0.00

การคำนวณเวกเตอร์อนุพันธ์และความโค้ง ณ เวลา $t$ ปัจจุบัน

1. เวกเตอร์ตำแหน่ง & ความเร็ว:

$\vec{r}(t) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

$\vec{r}'(t) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

อัตราเร็ว $\|\vec{r}'(t)\| = 0.00$

2. ความโค้ง ($\kappa$) & การบิด ($\tau$):

ความโค้ง $\kappa(t) = 0.000$

การบิด $\tau(t) = 0.000$

รัศมีมีความโค้ง $R = 1/\kappa$

3. เวกเตอร์ฐาน TNB Frame:

$\vec{T} = \langle 0, 0, 0 \rangle$

$\vec{N} = \langle 0, 0, 0 \rangle$

$\vec{B} = \langle 0, 0, 0 \rangle$

สรุปทฤษฎี: เส้นโค้งปริภูมิ 3 มิติ และกรอบพิกัด Frenet-Serret Frame

เนื้อหาสำคัญสำหรับแคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (Differential Geometry) เพื่อเสริมสร้างความเข้าใจเชิงมโนทัศน์ให้แก่นักศึกษามหาวิทยาลัย

ความหมายพื้นฐาน

1. เวกเตอร์ตำแหน่ง $\vec{r}(t)$ และเส้นโค้งปริภูมิ

เส้นโค้งปริภูมิใน 3 มิติ (Space Curve $C$) สามารถอธิบายได้ในรูปของ ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (Vector-valued function):

$$\vec{r}(t) = f(t)\hat{i} + g(t)\hat{j} + h(t)\hat{k} = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$$

เมื่อ $t$ เปลี่ยนแปลงไป เวกเตอร์ตำแหน่ง $\vec{r}(t)$ จะชี้จากจุดกำเนิด $(0,0,0)$ ไปยังจุด $P(x(t), y(t), z(t))$ บนเส้นโค้ง ทำให้ปลายของเวกเตอร์นี้ลากเส้นโค้งสมบูรณ์ในปริภูมิ 3 มิติ

อนุพันธ์และทิศทาง

2. เวกเตอร์สัมผัสหน่วย $\vec{T}(t)$ (Unit Tangent Vector)

อนุพันธ์ $\vec{r}'(t)$ คือ เวกเตอร์ความเร็ว (Velocity Vector) ซึ่งสัมผัสกับเส้นโค้งเสมอ เมื่อทำให้อยู่ในรูปแบบเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะได้:

$$\vec{T}(t) = \frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|}$$

เวกเตอร์ $\vec{T}(t)$ ชี้ไปในทิศทางการเคลื่อนที่ของจุด $P(t)$ ตามลำดับการเพิ่มขึ้นของพารามิเตอร์ $t$

ทิศทางตั้งฉาก

3. เวกเตอร์ $\vec{N}(t)$ และ เวกเตอร์ไบนอร์มัล $\vec{B}(t)$

เนื่องจาก $\|\vec{T}(t)\| = 1$ ทำให้ $\vec{T}'(t)$ ตั้งฉากกับ $\vec{T}(t)$ เสมอ เราจึงนิยาม Principal Normal Vector ($\vec{N}$) และ Binormal Vector ($\vec{B}$) ดังนี้:

$$\vec{N}(t) = \frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}$$

$$\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \times \vec{N}(t)$$

ชุดเวกเตอร์ $\{\vec{T}, \vec{N}, \vec{B}\}$ สร้างเป็นระบบพิกัดฉากเคลื่อนที่ (Moving Trihedron) ที่ติดตามจุดไปบนเส้นโค้งใน 3 มิติ

วัดอัตราการโค้ง

4. ความโค้ง ($\kappa$) และระนาบประแนบ (Osculating Plane)

ความโค้ง (Curvature $\kappa$) เป็นตัววัดอัตราการเปลี่ยนทิศทางของเส้นโค้งต่อความยาวส่วนโค้ง:

$$\kappa(t) = \frac{\|\vec{T}'(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|} = \frac{\|\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^3}$$

ระนาบประแนบ (Osculating Plane) คือ ระนาบที่สร้างโดยเวกเตอร์ $\vec{T}$ และ $\vec{N}$ (มีเวกเตอร์ตั้งฉากระนาบคือ $\vec{B}$) เป็นระนาบที่แนบสนิทกับเส้นโค้ง ณ จุดนั้นมากที่สุด

คลังแบบฝึกหัดประลองความรู้ (Interactive Calculus III Quiz)

ทดสอบความเข้าใจเรื่อง เวกเตอร์ตำแหน่ง, เวกเตอร์สัมผัส และกรอบพิกัด TNB

คะแนนของคุณ: 0

รายการโจทย์

หัวข้อข้อสอบ ระดับ: ปานกลาง

เลือกคำตอบที่ถูกต้องเพื่อรับคะแนน